唐突に院試の話をする．
僕が受けた試験は180分の間に数学 + 専門科目を回答するものだった．総合格闘技っぽい．
数学：線形代数と微分積分
専門科目：アルゴリズムとデータ構造，確立・OR，離散数学，計算機科学 の中から3つ選択
固有値を求める行列に分数が出てきたのにはムカついたけど，最初の計算問題で固有値が1つ明らかになるので計算間違いに気付ける仕組みになっていて良い問題だなと思った．
過去問はめちゃくちゃ簡単なのに，試験当日「明らかに難易度上がってるやんけ！」となるのは．毎年そうなのだろうか．まぁ家でサクッと解くのと試験会場で時間制限を気にしながら解くのとでは違うか．
下の問題は実際に出題されたもの．過去問やるか〜つって挑戦するときは普通に解けるような難易度だけど，試験中はテンパってパフォーマンスが落ちるからダメダメ．ちゃんと回答できたけどね．
命題
自然数\(n\)が\(2\)以上のとき，
$$ \sum_{t=1}^{n} \frac{1}{t^{2}} < 2 - \frac{1}{n} $$ が成立する．
証明
\(n=2\)のとき,
左辺 \(= 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \), 右辺 \(= 2 - \frac{1}{2} = \frac{6}{4} \) で 左辺 \(<\) 右辺.
ある\(k\)で成立すると仮定し，\(k+1\)でも成立することを示す．
\(k\)で成立すると仮定しているので， $$ {\sum_{t=1}^{k+1} \frac{1}{t^{2}}} = \sum_{t=1}^{k} \frac{1}{t^{2}} +{\frac{1}{(k+1)^{2}}} < 2 - \frac{1}{k} + {\frac{1}{(k+1)^{2}}} $$ である．
\begin{equation}
2 - \frac{1}{k} + {\frac{1}{(k+1)^{2}}} < 2 - \frac{1}{k+1}
\end{equation}
が正しいことを確認する．
両辺から\(2\)を引いて, \(-(k+1)\)をかけて
\begin{align*} \frac{k+1}{k} - \frac{1}{k+1} = 1 + \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} > 1 \end{align*}
\(k\)は自然数を取るので \(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} > 0 \). よって \( 2 - \frac{1}{k} + {\frac{1}{(k+1)^{2}}} < 2 - \frac{1}{k+1} \)
以上から， \begin{align*} \sum_{t=1}^{k} \frac{1}{t^{2}} +{\frac{1}{(k+1)^{2}}} < 2 - \frac{1}{k} + {\frac{1}{(k+1)^{2}}} < 2 - \frac{1}{k+1} \newline \Rightarrow \sum_{t=1}^{k+1} \frac{1}{t^{2}} < 2 - \frac{1}{k+1} \end{align*}
ある\(k\)で成立するなら\(k+1\)でも成立する．数学的帰納法により命題が証明された．
