チョコレートを買いにLeonidasへ。市内にチョコレート屋はたくさんあるけど、お土産は王室御用達のお店で買うことにした。もしかしてローカルのお店のほうがいいか？有名な店だと日本でも買えそうだし。
明日は空港でPCR検査。Leuven市内で検査できればよかったんだけどなあ・・。大学行くのもあと3日しかない。一ヶ月ほんとうに早かったな。時間のかかる実験は日本に帰ってからやるので、KU Leuvenで達成するべきタスクは終わり。論文書かないとね。
\(a \in GF(p) \),
\(GF(p)[X] / (X^{2} - X + a) \) というふうに\(GF(p)\)の2次拡大体を考える。
\(x\)が\(X^{2} - X + a\)の根である（\(x^{2} - x + a=0\)）とき、\(x^{p}\)がもう1つの根になる
(i.e.,
\((x^{p})^{2} - x^{p} + a=0\)
) 証明が浮かばない。たぶんフロベニウス写像。
\(x, x^{p}\)が\(X^{2} - X + a\)の根なら\(X^{2} - X + a = (X - x)(X - x^{p})\)なんだけど、\(x x^{p} \neq a\)になったりする。これは\(a\)の取り方に依存し、上記を満たす\(a\)は\((p-1)/2\)個ある。わからん。
[追記]
\(x^{2} - x + a = 0\)から\(x^{2} = x - a\)。\(x\)を\(x^{p}\)に置き換えてフロベニウス写像を適用するだけ。
\begin{split}
(x^{p})^{2} - x^{p} + a & = (x^{2})^{p} - x^{p}+a\cr
& = (x - a)^{p} - x^{p} + a\cr
& = x^{p} - a^{p} - x^{p}+a\cr
& = x^{p} - a - x^{p}+a\cr
& = 0.
\end{split}
